Möbius inversion formula for monoids with zero

The Möbius inversion formula, introduced during the 19th century in number theory, was generalized to a wide class of monoids called locally finite such as the free partially commutative, plactic and hypoplactic monoids for instance. In this contribution are developed and used some topological and algebraic notions for monoids with zero, similar to ordinary objects such as the (total) algebra of a monoid, the augmentation ideal or the star operation on proper series. The main concern is to extend the study of the Möbius function to some monoids with zero, i.e., with an absorbing element, in particular the so-called Rees quotients of locally finite monoids. Some relations between the Möbius functions of a monoid and its Rees quotient are also provided. Résumé. La formule d’inversion de Möbius, connue depuis le XIXème siècle en théorie des nombres, fut généralisée à la classe des monoı̈des localement finis, comprenant des objets tels que les monoı̈des partiellement commutatifs libres ainsi que les monoı̈des plaxiques et hypoplaxiques par exemple. Dans ce papier nous étendons son étude à certains monoı̈des à zéro, i.e., munis d’un élément absorbant, notamment les quotients de Rees de monoı̈des localement finis, en développant et en employant des outils, algébriques et topologiques, analogues aux objets usuels tels que l’algèbre (large) d’un monoı̈de, l’idéal d’augmentation ou encore l’étoile d’une série sans terme constant. Nous établissons également des relations entre les fonctions de Möbius d’un monoı̈de et de son quotient de Rees.